Enunciado

Prove que l n ( x ) < x p , para todo p > 0 e para x suficientemente grande, calculando:

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x ) x p

Passo 1

Bem, galera, como a questão nos diz que teremos um x suficientemente grande, podemos assegurar que x ≠ 0 , o que garante que podemos fazer manipulações algébricas com esse bendito x.

Logo, se:

l n ⁡ ( x ) < x p

Sabendo que l n ⁡ ( x ) e x p são funções contínuas e positivas, é válido dizer que:

l n ⁡ ( x ) x p < 1

Passo 2

Como queremos um x suficientemente grande, iremos fazer x → + ∞ e esse quociente deve ser menor que 1, como provado anteriormente:

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x ) x p < 1

Para resolver esse limite, como teremos uma indeterminação do tipo + ∞ + ∞ , precisaremos recorrer ao Teorema de L’Hôpital que nos assegura que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Ao passo que:

f x = l n ⁡ ( x )

f ' x = 1 x

g x = x p

g ' x = p x p - 1

Teremos que:

lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 1 x p x p - 1

lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 1 p x p

lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = 1 p lim x → + ∞ ⁡ 1 x p

Como sabemos, a função x p é contínua para todo x real e positivo, logo lim x → + ∞ ⁡ 1 x p = 0

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 1 p . 0

Como p > 0 , então o produto será igual a zero:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0

Passo 3

Como o enunciado nos pede, conseguimos encontrar um valor para o limite dado e esse valor coincide com o intervalo necessário para que l n ⁡ ( x ) seja menor que x p para x suficientemente grande.

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x ) x p = 0 < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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