Enunciado

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

17. r = c o s 2 θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = - 2 s e n 2 θ

Pelas relações trigonométricas:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

c o s 2 θ = c o s 2 θ - s e n 2 θ

Ficamos com:

d r d θ = - 4 s e n θ c o s θ

E o r ficará:

r = c o s 2 θ - s e n 2 θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = - 4 t g θ s e n θ c o s θ + c o s 2 θ - s e n 2 θ - 4 s e n θ c o s θ - c o s 2 θ - s e n 2 θ t g θ

Reescrevendo:

t g α = - 4 s e n θ c o s θ s e n θ c o s θ + c o s 2 θ - s e n 2 θ - 4 s e n θ c o s θ - c o s 2 θ - s e n 2 θ s e n θ c o s θ

t g α = s e n θ - 4 s e n θ c o s θ + c o s 2 θ - s e n 2 θ c o s θ c o s θ - 4 s e n θ c o s θ - c o s 2 θ - s e n 2 θ s e n θ c o s θ

t g α = s e n θ - 4 s e n θ c o s θ + c o s 2 θ - s e n 2 θ c o s θ c o s θ - 4 s e n θ c o s θ - c o s 2 θ - s e n 2 θ s e n θ

t g α = c o s θ ( - 4 s e n 2 θ + c o s 2 θ - s e n 2 θ ) s e n θ - 4 c o s 2 θ - c o s 2 θ + s e n 2 θ

t g α = c o s θ ( 1 - 6 s e n 2 θ ) s e n θ 1 - 6 c o s 2 θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

c o s θ ( 1 - 6 s e n 2 θ ) = 0

A solução terá três resultados:

c o s θ = 0 → θ = π 2   e   θ = 3 π 2

E

1 - 6 s e n 2 θ = 0

s e n θ = ± 6 6

Para   s e n θ = - 6 6 , θ ≅ 3,56 e θ ≅ 5,86

E para s e n θ = 6 6 , θ ≅ 0,42 e θ ≅ 2,72

Agora podemos calcular o valor de r para cada caso, primeiro para θ = π 2 :

r = c o s 2 θ = - 1

As coordenadas cartesianas para serão:

x = r c o s θ = 0

y = r s e n θ = - 1

Para θ = 3 π 2 :

x = r c o s θ = 0

y = r s e n θ = 1

Para   θ ≅ 3,56

r = c o s 2   .   3,56 = 0,67

x = 0,67 c o s 3,56 = - 0,61

y = 0,67 s e n 3,56 = - 0,27

Para θ ≅ 5,86

x = 0,67 c o s 5,86 = 0,61

y = 0,67 s e n 5,86 = - 0,27

Para θ ≅ 0,42

x = 0,67 c o s 0,42 = 0,61

y = 0,67 s e n 0,42 = 0,27

E para θ ≅ 2,72

x = 0,67 c o s 2,72 = - 0,61

y = 0,67 s e n 2,72 = 0,27

Os pontos (-0,61, 0,27) e (0,61, 0,27) correspondem a uma reta que passa em dois pontos, assim como os pontos (-0,61, -0,27) e (0,61, -0,27). E os pontos (0, 1) e (0, -1) correspondem a outras duas retas.

Passo 3

As retas verticais obtemos igualando o denominador da equação da inclinação a zero, pois assim, a inclinação tenderia para infinito e a reta será vertical:

s e n θ 1 - 6 c o s 2 θ = 0

E teremos três resultados novamente:

s e n θ = 0 → θ = 0   e   θ = π

E

1 - 6 c o s 2 θ = 0

c o s θ = ± 6 6

Para   c o s θ = 6 6 , θ ≅ 1,15   e   θ ≅ 5,13

Para c o s θ = - 6 6 , θ ≅ 1,99   e   θ ≅ 4,29  

E o r para o primeiro resultado, θ = 0 , será:

r = c o s 2 θ = 1

E as coordenadas cartesianas:

x = r c o s θ = 1

y = r s e n θ = 0

Para θ = π :

x = 1 c o s π = - 1

y = 1 s e n π = 0

Para θ ≅ 1,15 :

r = cos ⁡ 2   .   1,15 = - 0,67

x = - 0,67 cos ⁡ 1,15 = - 0,27

y = - 0,67 sen ⁡ 1,15 = - 0,61

Para θ ≅ 5,13 :

x = - 0,67 cos ⁡ 5,13 = - 0,27

y = - 0,67 sen ⁡ 5,13 = 0,61

Para θ ≅ 1,99 :

x = - 0,67 cos ⁡ 1,99 = 0,27

y = - 0,67 sen ⁡ 1,99 = - 0,61

E para θ ≅ 4,29 :

x = - 0,67 cos ⁡ 4,29 = 0,27

y = - 0,67 sen ⁡ 4,29 = 0,61

Os pontos (0,27, -0,61) e (0,27, 0,61) correspondem a uma mesma reta, os pontos (-0,27, -0,61) e (-0,27, 0,61) também. Já os pontos (1, 0) e (-1, 0) correspondem a duas retas.

Passo 4

O esboço do gráfico então será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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