Prove Dx(cotgx) = -cosec²x

Passo 1

Sabemos que c o t g x =   1 t g ( x ) , ou seja, c o t g   ( x ) =   c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Assim nossa equação fica:

D x cos ⁡ x s e n x =   - c o s e c ² ( x )

Usaremos a regra do quociente para derivar as funções.

Regra do quociente:

D x f x g x =   D x f ( x ) ⋅ g ( x ) -   D x g ( x ) ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Aplicando na função que temos:

D x cos ⁡ x s e n x =   D x c o s x ⋅ s e n x -   D x s e n x ⋅ c o s x s e n x 2

                                                    =   ( - s e n x ) ⋅ s e n x - ( c o s x ) ⋅ ( c o s x ) ( s e n x ) ²

                                                    = - s e n 2 x -   c o s ² x ( s e n x ) ²

                                                    =   - ( s e n 2 x + c o s 2 x ) ( s e n x ) ²

Passo 3

Pela identidade trigonométrica podemos obter duas informações:

s e n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

1 s e n ( x ) = c o s e c ( x )

Passo 4

Substituindo no nosso resultado:

D x cos ⁡ x s e n x =   - s e n 2 x + c o s 2 x s e n x 2

                                                    =   -   1 s e n 2 x =   - c o s e c ² x

Logo:

D x c o t g x =   - c o s e c ² x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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