Enunciado

Uma função densidade de probabilidade uniforme é definida por:

f x = 0 s e c < x 1 d - c s e c ≤ x ≤ d 0 s e d < x

Mostre que essa função satisfaz as condições necessárias para que possamos classifica-la como uma função de densindade de probabilidade.

Passo 1

As coniidções que ele falou ali no enunciado são:

  1. f x ≥ 0   p a r a   t o d o   x   e m   R
  2. ∫ - ∞ + ∞ f x d x = 1

Então temos que verificar as duas condições.

Primeiro, se

f x ≥ 0 ,   p a r a   t o d o   x   e m   R

A nossa função é 0 antes de c e depis de d . Entao ela é maior ou igual a zero nessas partes.

No outro intervalo, temos

f x = 1 d - c

Como ele coloca

d > c → d - c > 0

Então essa fração é positiva, o que faz com que a primeira condição seja satisfeita.

Passo 2

A segunda condição e calcular a integral

∫ - ∞ + ∞ f x d x

Vamos ter:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ - ∞ c f x d x + ∫ c d f x d x + ∫ d + ∞ f x d x

Colocando as devidas expressões em cada parte das integrais. Mas aquelas duas com f x = 0 , então vamos ter:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ c d 1 d - c d x

E vamos acabar com

∫ - ∞ + ∞ f x d x = ∫ c d 1 d - c d x = x d - c d c = d d - c - c d - c = d - c d - c = 1

Logo ambas as condições são satisfeitas

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule: ∫ 1 + ∞ 1 x 4d x
Calcule: ∫ - ∞ + ∞ 1 4 + x 2d x
Calcule: ∫ - ∞ 0 e xd x
Suponha que, para todo t0 , f seja integrável em - t , t : suponha, ainda, que f x0 para todo x . Prove que ∫ - ∞ + ∞ f xd x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t t f xd x
Sejam α e s , s0 , reais dados. Verifique que ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ α td t = s s 2 + α 2