Enunciado

Prove:

|x - y| >= |y| - |x|

Passo 1

Aqui temos que |x - y| >= |y| - |x| é uma consequência da desigualdade triangular, que diz que o módulo de uma soma é menor ou igual à soma dos módulos das parcelas. Vamos então fazer umas manipulações para pode usar a desigualdade triangular, temos que:

|y| = |y - x + x|

Vamos agora aplicar a desigualdade triangular aqui:

|y - x + x| <= |y - x| + |x|

Agora é só reagrupar a inequação, e pronto:

|y - x + x| <= |y - x| + |x| harr |y| <= |y - x| + |x| harr - |y - x| <= |x| - |y| harr |y - x| >= - |x| + |y|

Lembresse aqui que ao multiplicar - 1 a inequação invertemos a desigualdade.

Aqui temos que lembrar que |y - x| = |x - y| , assim:

|y - x| >= - |x| + |y| harr |x - y| >= - |x| + |y|

Pronto, está provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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