Prove que arctan(x) + arctan(1/x) = pi / 2 , se x > 0 . (Sugestão: use a identidade cotan A = tan(pi/2 - A) .)

Passo 1

A questão pede para provarmos que arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = π 2 para qualquer x positivo. Como sugestão, foi dado a relação

c o t a n   A = tan ⁡ π 2 - A

Vamos inverter a relação:

π 2 - A = arctan ⁡ c o t a n   A

Assim,

arctan ⁡ ( c o t a n   A ) + A = π 2

Passo 2

Para chegarmos na relação pedida, vamos chamar x = c o t a n   A . Assim

x = 1 tan ⁡ A ⇒ tan ⁡ A = 1 x ⇒ A = arctan ⁡ 1 x

Desta forma, substituindo c o t a n   A por x e A por arctan ⁡ 1 / x , temos que

arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = π 2

Essa é a relação que queremos demonstrar!

Resposta

Demonstração.

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