Enunciado

Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.

f x = 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3 ,       s e   x ≠ 3 6 ,       s e   x = 3 ,     a = 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada uma função definida por partes

f x = 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3 ,       s e   x ≠ 3 6 ,       s e   x = 3

E nosso objetivo é explicar por que a função é descontinua em x = 3 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema, temos que verificar, por meio do limite de f para x tendendo a 3 , qual o valor que a função tende a assumir quando x se aproxima de 3 .

Perceba que em x = 3 a função é f 3 = 6 mas para a função ser contínua f x tem que tender a 6 quando x tende a 3 .

Veja só!

Passo 2

Iremos calcular o limite da função no ponto x = 3

lim x → 3 ⁡ f ( x ) = lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3

Se a gente substituir x por 3 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 . Nesses casos, como temos dois polinômios no numerador e no denominador podemos tentar simplificá-los por meio da fatoração de um deles.

Fatorando o numerador, chegamos em

2 x 2 - 5 x - 3 = 2 x + 1 x - 3

Substituindo no limite...

lim x → 3 ⁡ 2 x + 1 x - 3 x - 3

Agora podemos simplificar o termo ( x - 3 ) que aparece no numerador e no denominador, sendo assim:

lim x → 3 ⁡ 2 x + 1

E substituindo o valor de x :

lim x → 3 ⁡ 2 x + 1 = 2 3 + 1 = 7

No entanto, conforme fornecido no enunciado, f 3 = 6 , dessa forma, f é descontínua no ponto 3.

Show?

Passo 3

Podemos verificar o que foi posto no passo 2 através da análise do gráfico da função f .

Esboçando f x na forma simplificada

f x = 2 x + 1

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → 3 ⁡ f ( x ) = 6

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Seja f : 0,1 → R contínua e tal que para todo x em 0,1 , 0 ≤ f x ≤ 1 . Prove que existe c em 0,1 tal que f c = c .
Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a . Suponha, ainda, que existe x 0 em I , com x 0a , tal que f x 00 . Prove que, para todo x em I , com xa , f x0 .
a) Prove que todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.b) Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
Seja f : - 1,1 → R dada por f x = x 2 + x 1 + x 2 .a) Prove que f 1 é o valor máximo de f .b) Prove que existe x 1 ∈] - 1,0 [ tal que f x 1 é o valor mínimo de f .
Seja f : I → R contínua, onde I é um intervalo qualquer. Prove que a imagem de f é um intervalo.