Prove que a equação x^3 - 3x^2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu a função f x = x 3 - 3 x 2 + 6 e pediu pra gente provar que ela admite apenas uma raiz real. Isso quer dizer que teremos apenas um valor de x que satisfaça a equação x 3 - 3 x 2 + 6 = 0 .

Para mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz real, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como a nossa f ( x ) é uma função polinomial, ela é contínua para todos os valores de x reais.

Repare também que quando x → + ∞ , nossa função vai tender a + ∞ e quando x → - ∞ , nossa função vai para - ∞ . Essa mudança de sinal já indica que existe pelo menos uma raiz real.

Agora para mostrar que existe apenas uma raiz real, vamos precisar calcular os pontos críticos da função, usando a derivada, e estudar o sinal da função , verificando sua concavidade por meio da segunda derivada. Assim, vamos encontrar o intervalo de amplitude que contém essa raiz e provar o que é pedido.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da nossa função usando a regra de derivação da constante ( c ' = 0 ) e a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ). Assim, temos:

f ' x = x 3 - 3 x 2 + 6 '

f ' x = 3 x 3 - 1 - 2 ⋅ 3 x 2 - 1 + 0

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Agora vamos igualar esse resultado a zero para encontrar os pontos críticos da função:

3 x 2 - 6 x = 0

3 x x - 2 = 0

Assim, temos:

3 x = 0 → x = 0

ou

x - 2 = 0 → x = 2

Então, x = 0 e x = 2 são pontos críticos da função. Agora, vamos usar o teste da derivada segunda (o teste da concavidade) para determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Derivando novamente f ' ( x ) , obtemos a segunda derivada de f ( x ) :

f ' ' x = 6 x - 6

Avaliando a segunda derivada nos pontos x = 0 e x = 2 , vamos ter:

Para x = 0 :

f ' ' 0 = 6 ∙ 0 - 6 = - 6

Para x = 2 :

f ' ' 2 = 6 ∙ 2 - 6 = 6

Logo, f ' ' 0 < 0 , o que nos indica que f tem concavidade negativa e x = 0 é um ponto de máximo local. E para f ' ' 2 > 0 , temos que f tem concavidade positiva, com x = 2 sendo um ponto de mínimo local.

Agora, vamos analisar os valores da função nesses pontos críticos pra entender o comportamento dela:

f 0 = 0 3 - 3 ⋅ 0 2 + 6

f 0 = 6

E

f 2 = 2 3 - 3 ⋅ 2 2 + 6

f 2 = 2

Isso nos mostra que, mesmo nos pontos de máximo e mínimo locais, a função permanece positiva. Ou seja, a função não cruza o eixo x nesses pontos.

Vamos então procurar o intervalo onde ocorre a mudança de sinal pra aplicar o Teorema do Valor Intermediário corretamente.

Vamos testar alguns valores:

f - 2 = - 2 3 - 3 ⋅ - 2 2 + 6

f - 2 = - 14

E

f - 1 = - 1 3 - 3 ⋅ - 1 2 + 6

f - 1 = 2

Temos então que:

f - 2 < 0 e f - 1 > 0

Como a função é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real no intervalo - 2 , - 1 .

E como a função tem um único ponto de máximo local e um único ponto de mínimo local, e ambos estão acima do eixo x , ela não cruza o eixo novamente.

Isso garante que existe apenas uma raiz real.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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