Verifique que cos x = 1/2 - x^2/2 + o(x^2)

Passo 1

Utilizando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = cos ⁡ x

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 0 , além de f ( x 0 )

f 0 = cos ⁡ 0

f 0 = 1

f ' 0 = - sen ⁡ 0

f ' 0 = 0

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0

f ' ' 0 = - 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

f x = 1 + 0 x - 0 - 1 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = f x = 1 - x ² 2

Passo 4

Para o erro infinitesimal

o x 2 = lim x → 0 ⁡ E x x 2 = 0 lim x → 0 ⁡ f x - P x x 2

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 - x ² 2 x 2           0 0

Vamos aplicar L’Hospital até sair desta indeterminação

lim x → 0 ⁡ - s e n   x + x 2 x       0 0

lim x → 0 ⁡ - c o s   x + 1 2 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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