Enunciado

48. A função f é derivável no intervalo fechado [ a , b ] . Prove que se f ' a . f ' b < 0 , então existirá um número c no intervalo aberto ( a , b ) , tal que f ' c = 0 .

Passo 1

Temos f derivável em um intervalo, vamos ter que provar que existe um valor nesse intervalo para que a derivada seja nula.

Passo 2

Se f é derivável, então é contínua no intervalo a , b   e tem valores de máximo e mínimo nesse intervalo. Pelo teorema 4.4.4 existe um c nesse intervalo para que f ' c = 0 . Podemos provar isso ao observar que o valor máximo/mínimo não pode ser em a nem em b . Vamos lá...

Passo 3

Caso 1) Se o valor máximo for em a :

f a ≥ f x

Então

f x - f a x - a ≤ 0

Agora, a derivada de f pela direita (porque o intervalo começa em a ) fica assim:

f ' + a = lim x → a + ⁡ f x - f a x - a ≤ 0

Como f ' a . f ' b < 0 , f ' a < 0 . Show?

Passo 4

Caso 1) Se o valor mínimo for em b:

f b ≤ f x

Então

f x - f b x - b ≤ 0

Agora, a derivada de f pela esquerda (porque o intervalo termina em b ) fica assim:

f ' - b = lim x → b - ⁡ f x - f b x - b ≤ 0

Como f ' a . f ' b < 0 , f ' b < 0 . Show?

Passo 5

Agora, concluímos pro Caso 1) que f ' a < 0 e f ' b < 0 . Mas o produto entre essas derivadas deve ser f ' a . f ' b < 0 . E aí? Deu ruim? Não, provamos que os valores máximo e mínimo não podem ser em a ou em b .

Passo 6

Podemos ter o caso 2, em que o valor mínimo é em a e o valor máximo em b . Isso vai apenas mudar os mudar alguns sinais, mas a conlusão será a mesma, as derivadas terão o mesmo sinal, o que vai contradizer a condição que a questão quer ( f ' a . f ' b < 0 ). Mais uma vez, os valores máximo e mínimo não podem ser nos limites do intervalo.

Passo 7

Como provamos que é impossível os valores máximo e mínimo serem nos limites do intervalo, há um c tal que f ' c = 0 desde que esse c pertença a ( a , b ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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