Enunciado

Prove que, se f for definida, contínua e injetora no intervalo I , então f será estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Passo 1

Vamos tentar provar essa afirmação por contradição: suponha que f é definida, contínua e injetora no intervalo I , mas não é nem estritamente crescente nem estritamente decrescente.

Se f for constante em qualquer parte do seu gráfico, já há contradição pois função constante não é injetora.

Então, vamos trabalhar com a hipótese de que exista uma função f “estritamente” crescente em algumas partes do seu gráfico e “estritamente” decrescente em outras partes, e encontrar uma contradição com o fato de ela ser injetora.

Passo 2

Considere um ponto p desse gráfico em que f passa de crescente para decrescente (de forma análoga procederíamos para um ponto em que f passasse de decrescente para crescente). Pelo menos um ponto como esse, que não é extremidade de I , tem que existir para que a função f seja como nós a imaginamos.

Vamos pegar outro ponto na vizinhança desse primeiro, digamos, q 1 , com q 1 < p . Como a função é estritamente crescente na vizinhança do ponto p à esquerda, teremos f q 1 < f p .

Depois de p , a função passa a ser decrescente, de modo que teremos f x < f p pelo menos em alguma vizinhança desse ponto à direita.

Assim, vai existir outro ponto q 2 > p tal que f q 1 = f q 2 . Isso contradiz o fato de f ser injetora.

Logo, f só pode ser estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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