Prove que a função f x = x             s e   x ∈ Q - x       s e   x ∉ Q é contínua em 0 .

Passo 1

Uma função contínua em um ponto p que para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Estamos avaliando a continuidade no ponto p = 0 .

Então agora é aplicar!

Passo 2

Nesse caso como f x só pode ser igual a x ou - x , seu módulo será sempre menor ou igual ao valor do f x ≤ x

Então, para x = 0 :

f 0 ≤ 0 = 0

Ou seja,

f 0 = 0

Passo 3

Assim, para p = 0 , a função é contínua em p se:

x - 0 < δ   ⇒ f x - 0 < ϵ

x < δ   ⇒ f x < ϵ

Se tomarmos δ = ϵ :

x < δ = ϵ

x < ϵ

E como f x ≤ x

f x ≤ x < ϵ

f x < ϵ

Logo, a afirmação x < δ   ⇒ f x < ϵ de fato é verdadeira, e, portanto, provamos que f é contínua em 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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