Seja s = f(x, y, z, w) dada por s = e^((x/y) - (z/w)) . Verifique que

x \* (∂s/∂x) + y \* (∂s/∂y) + z \* (∂s/∂z) + w \* (∂s/∂w) = 0

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de quatro variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas parciais da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Note que o enunciado nos confunde com um tal de s aparecendo na parada. Bem, na realidade temos s = f , então simplesmente ignore esse cara. Vamos chamar tudo de f mesmo.

Passo 2

Temos f x , y , z , w = e x y - z w . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ f x , y , z . w ∂ x = ∂ ∂ x e x y - z w = e x y - z w ∂ ∂ x x y - z w

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o x como uma constante:

∂ f x , y , z . w ∂ x = e x y - z w 1 y

Passo 3

Agora, calculando a derivada da f em y , temos:

∂ f x , y , z . w ∂ y = ∂ ∂ y e x y - z w = e x y - z w ∂ ∂ y x y - z w

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o y como uma constante:

∂ f x , y , z . w ∂ y = e x y - z w - x y 2

Passo 4

Agora, calculando a derivada da f em z , temos:

∂ f x , y , z . w ∂ z = ∂ ∂ z e x y - z w = e x y - z w ∂ ∂ z x y - z w

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o z como uma constante:

∂ f x , y , z . w ∂ z = e x y - z w - 1 w

Passo 5

Enfim, calculando a derivada da f em w , temos:

∂ f x , y , z . w ∂ w = ∂ ∂ w e x y - z w = e x y - z w ∂ ∂ w x y - z w

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o w como uma constante:

∂ f x , y , z . w ∂ w = e x y - z w z w 2

Passo 6

Agora que obtivemos todas as derivadas da f , bata substituir na fórmula dada com cuidado. No momento vamos desenvolver só a parte esquerda da fórmula, ou seja:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z + w ∂ f ∂ w

Quanto será que vele esta expressão? Basta substituir os resultados que já temos, obtendo:

x e x y - z w 1 y + y e x y - z w - x y 2 + z e x y - z w - 1 w + w e x y - z w z w 2

Cortando o termo e x y - z w de todo mundo e simplificando, obtemos:

x y + - x y + - z w + z w

Mas perai! Esses termos se cancelam aos pares! O lado esquerdo da igualdade dada é zero! Maravilha! Acabamos de provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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