Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto.

12-

f x , y = x y ,     ( 6,3 )

Passo 1

Vamos fazer as funções diferenciais dessa função:

f x = 1 y

f y = - x y 2

E a única restrição que vemos em f , f x e f y somente vemos uma única restrição em y = 0 , pois o denominador dessas três funções não pode ser 0. Logo nós teremos valores de f x e f y para ( 6,3 ) sendo um ponto diferenciável. Além das funções x , y e y 2 serem contínuas em todos os valores.

Logo os valores de f x e f y serão:

f x ( 6,3 ) = 1 3

f y ( 6,3 ) = - 6 3 2 = - 2 3

Passo 2

Pelo teorema 3 na página 923 nós vemos que a linearização da função será igual a:

L x , y = f a , b + f x 6,3 ( x - a ) + f y ( 6,3 ) ( y - b )

O que não é diferente da linearização em duas dimensões só que adicionando mais uma diferencial no caso a de y .

Logo, substituindo os valores teremos:

L x , y = 6 3 + 1 3 x - 6 - 2 3 ( y - 3 )

L x , y = 2 + x 3 - 2 - 2 3 y + 2

L x , y = 1 3 x - 2 3 y + 2

Resposta

L x , y = 1 3 x - 2 3 y + 2

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