Enunciado

Para que valores t o sistema {[[x + y = pi],[sen x + sen y = log_10 t^2]]) admite solução?

Passo 1

E aí pessoal, tudo beleza?

Como o problema pede os valores de t, então vamos descobrir o intervalo dos valores que t pode ser. Para isso, vamos utilizar a primeira equação e descobriremos através da fórmula do seno da diferença que o seno de x e y são iguais. A partir disso iremos aplicar essa igualdade na equação de baixo, desenvolvendo-a até chegar no intervalo de valores para t

Simbora!

Passo 2

x + y = pi => x = pi - y

Assim, calculando o seno de x descobrimos que:

sen ( x ) = sen ( pi - y ) = sen pi * cos x - sen y * cos pi

sen ( pi - y ) = sen y

Ou seja,

sen x = sen y

Pronto, agora vamos aplicar isso na 2ª equação:

sen x + sen y = log_10 t^2

Essa equação pode ser reescrita como:

2 sen x = log_10 t^2

Utilizando a propriedade do logaritmo na parte direita da igualdade temos:

2 sen x = 2 log_10 t

sen x = log_10 t

Portanto, o valor do logaritmo fica entre os intervalos permitidos pela função trigonométrica do seno.

- 1 <= log_10 t <= 1

E resulta em:

10^(- 1) <= t <= 10^1

0 , 1 <= t <= 1 0

Encontramos os valores possíveis de t.

Resposta

0,1 <= t <= 10

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