Para que valores t o sistema x + y = π sen ⁡ x + sen ⁡ y = log 10 ⁡ t 2 admite solução?

Passo 1

E aí pessoal, tudo beleza?

Como o problema pede os valores de t, então vamos descobrir o intervalo dos valores que t pode ser. Para isso, vamos utilizar a primeira equação e descobriremos através da fórmula do seno da diferença que o seno de x e y são iguais. A partir disso iremos aplicar essa igualdade na equação de baixo, desenvolvendo-a até chegar no intervalo de valores para t

Simbora!

Passo 2

x + y = π   ⇒ x = π - y

Assim, calculando o seno de x descobrimos que:

sen ⁡ ( x ) = sen ⁡ ( π - y ) = sen ⁡ π ∙ cos ⁡ x - sen ⁡ y ∙ cos ⁡ π

sen ⁡ ( π - y ) = sen ⁡ y

Ou seja,

sen ⁡ x = sen ⁡ y

Pronto, agora vamos aplicar isso na 2ª equação:

sen ⁡ x + sen ⁡ y = log 10 ⁡ t 2

Essa equação pode ser reescrita como:

2 sen ⁡ x = log 10 ⁡ t 2

Utilizando a propriedade do logaritmo na parte direita da igualdade temos:

2 sen ⁡ x = 2 log 10 ⁡ t

sen ⁡ x = log 10 ⁡ t

Portanto, o valor do logaritmo fica entre os intervalos permitidos pela função trigonométrica do seno.

- 1 ≤ log 10 ⁡ t ≤ 1  

E resulta em:

10 - 1 ≤ t ≤ 10 1

0 , 1 ≤ t ≤ 1 0

Encontramos os valores possíveis de t.

Resposta

0,1 ≤ t ≤ 10

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