56. Se

y = 1 / (1 - 2x)

Prove, por indução matemática, que

d^n y / d x^n = (2^n \* n!) / (1 - 2x)^(n+1)

Passo 1

Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo n=k. Então se provarmos que funciona para um n= k+1, vai funcionar para qualquer n, porque se para um certo número k o número seguinte também funciona.

Uma outra coisa necessária para resolver esse exercício é lembrar como o número fatorial funciona.

Exemplo:

4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

5 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

m ! = m ⋅ m - 1 ⋅ m - 2 ⋅ m - 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Assumindo que para um certo valor n=k a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

y = 1 1 - 2 x

d k y d x k = 2 k k ! 1 - 2 x k + 1

Passo 3

Agora escolhendo um n = k + 1 e realizando a derivada de ordem k + 1 :

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Continuando a derivação:

d k + 1 d x k + 1 2 k k ! 1 - 2 x k + 1 = 2 k k ! ' ⋅ 1 - 2 x k + 1 - 1 - 2 x k + 1 ' ⋅ 2 k k ! 1 - 2 x k + 1 2

                                                                                      = 0 - k + 1 1 - 2 x k ⋅ - 2 ⋅ 2 k k ! 1 - 2 x k + 1 2

                                                                                    = 2 k + 1 k + 1 k ! 1 - 2 x k 1 - 2 x 2 k 1 - 2 x 2

                                                                                    = 2 k + 1 k + 1 k ! 1 - 2 x k + 2 = 2 k + 1 k + 1 ! 1 - 2 x k + 2

Logo,

d k + 1 d x k + 1 d k d x k 1 1 - 2 x = 2 k + 1 k + 1 ! 1 - 2 x k + 2

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar à onde queríamos e provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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