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Prove que lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 = + ∞ , mostrando que para todo N > 0 existe um M > 0 tal que se x > M então x 2 - 4 > N

Passo 1

Pra provar essa afirmação ai galera, vamos primeiro trocar x por M na expressão da função e definir isso como o valor de N. Logo:

N = M 2 - 4

Pra provar que x 2 - 4 > N basta substituirmos o valor de N escolhido:

x 2 - 4 > M 2 - 4

x 2 > M 2

M < x < - M

E veja só, x > M apareceu! Podemos ainda provar isso numericamente ao escolhermos valores. Seja por exemplo M = 4 , temos:

N = 4 2 - 4 = 16 - 4 = 12

x 2 - 4 > N = 12

x 2 > 16

4 < x < - 4

Ou seja, qualquer valor de x maior que 4 ou menor que - 4 que se tome, f x vai ser maior que N = f M = 12 . Graficamente:

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