Enunciado

Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 3 ⁡ - 2 x - 3 2 =   - ∞

Passo 1

Temos que calcular o limite da função, então é só aplicar aquelas propriedades né? Não! Temos que calcular o limite sem aplicar limite na função.

É estranho eu sei. Mas dando uma folheada nas páginas do livro, podemos encontrar a definição de limite no infinito. Mas não precisa ir lá procurar , vou te dizer aqui.

lim x x 0   f x = -   quando para todo B > 0 ,     e xiste um δ > 0 , tal que x - x 0 < δ temos que f x < -   B .

Sabendo que o limite é , é preciso que encontremos um número δ , de maneira que para qualquer número B > 0   sempre que a distancia entra x e x 0 é menor que ele, f x < - B   .

Vamos pra as contas, acho que você vai entender melhor.

Precisamos que se x - 3 < δ

f x < -   B

Ou seja,

- 2 x - 3 2 < - B   ⇒ 2 x - 3 2 > B   ⇒ x - 3 2 2 < B ⇒  

  x - 3 2 < 2 ⋅ B     ⇒ x - 3 < 2 ⋅ B

Mas , como x - 3 < δ   . Como é existe δ então, podemos escolher de maneira que funcione o nosso objetivo. Só ligar as coisas e escolher o δ certo.

Só tomar δ = 2 ⋅ B .

E agora é só escrever bonitinho assim para garantir o 10.

Dado B > 0 existe δ =   2 ⋅ B   tal que sempre que x - 3 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 3 < 2 ⋅ B   ⇒       x - 3 2 < 2 ⋅ B   ⇒ x - 3 2 2 < B   ⇒

2 x - 3 2 > B   ⇒ - 2 x - 3 2 < - B   ⇒ f   x < - B

Resposta

Dado B > 0 existe δ =   2 ⋅ B   tal que sempre que x - 3 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 3 < 2 ⋅ B   ⇒       x - 3 2 < 2 ⋅ B   ⇒ x - 3 2 2 < B   ⇒

2 x - 3 2 > B   ⇒ - 2 x - 3 2 < - B   ⇒ f   x < - B

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