Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

∫ - 3 3 1 x 2 + 6 d x ≤ 1

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral e desse número χ no intervalo [ - 3 ,   3 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ - 3 3 1 x 2 + 6 d x = 1 χ 2 + 6 3 - ( - 3 ) = 6 χ 2 + 6

Agora basta provarmos que esse valor é de fato menor que 1. Qualquer que seja o número χ , temos χ 2 ≥ 0 , então podemos afirmar que 6 χ 2 + 6 ≤ 6 6 = 1 , como queríamos provar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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