Descrever analítica e graficamente uma função y = f(x) tal que lim x → 3 ⁡ f x não existe e lim x → 6 ⁡ f x existe.

Passo 1

Falaee, tranquilinho?? Queremos mostrar de forma analítica (ou seja, por cálculos) e de forma gráfica uma função y = f x que atenda os seguintes requisitos:

1) lim x → 3 ⁡ f x não existe;

2) lim x → 6 ⁡ f x existe.

Então galera, antes começar a resolução vale ressaltar que existem INFINITOS exemplos de funções que atendem as características dadas pelo enunciado, tudo bem? O que vamos fazer aqui é utilizar apenas uma, que já será o suficiente!

Para isso, lembre-se que, para um limite existir em um ponto x = a , então os limites laterais em torno desse ponto devem ser iguais, ou seja:

Se

lim x → a + ⁡ f x = lim x → a - ⁡ f x

Então:

lim x → a ⁡ f x =   ∃

Agora bora lá!!

Passo 2

A primeira característica que a função tem que ter é ter os limites laterais quando x → 3 diferentes, ou seja, quando x → 3 pela direita tem que ser diferente quando x → 3 pela esquerda, então podemos pegar uma função constante qualquer, tal como:

f x = 1 ,   x < 3

Essa é a primeira característica, ok? Então vamos para a próxima!

Passo 3

A segunda característica que a função tem que ter é ter os limites laterais quando x → 6 iguais, ou seja, quando x → 6 pela direita tem que ser igual quando x → 6 pela esquerda, então podemos pegar uma função qualquer que existe em x = 6 , se liga:

f x = 2 3 x + 2 ,   x ≥ 3

Essa descrição foi a parte analítica da coisa, tudo bem galera? Para facilitar a visualização, podemos escrever as funções assim ó:

f x = 1 ,   x < 3 2 3 x + 2 ,   x ≥ 3

Com isso, perceba que:

f 6 = 2 3 ⋅ 6 + 2

f 6 = 6

Por fim, fazendo a descrição gráfica, ou seja, plotando o gráfico dessas funções, teremos:

Note que os limites laterais em torno de x = 3 são diferentes (note o salto dafunção nesse ponto!!).

Por outro lado, veja que em x = 6 o limite existe pois se você ir se aproximando de x = 6 tanto pela esquerda quanto pela direita, você terá um mesmo valor y = 6 !!

Passo 4

Se ainda não percebeu de forma analítica que o limite existe em x = 6 vamos fazer o seguinte... vamos pegar dois números muuuito próximos de 6 , onde um se aproxima pelos números maiores que 6 (por exemplo: 6,0001 ) e outro que se aproxima por números menores (por exemplo: 5,9999 ).

Fazendo f 6,0001 :

f 6,0001 = 2 3 6,0001 + 2

f 6,0001 ≈ 6,00007

Fazendo f 5,9999 :

f 5,9999 = 2 3 5,9999 + 2

f 5,9999 ≈ 5,99993

Note que os resultados são muuuito próximos de f 6 = 6 !!

Isso significa que o limite existe nesse ponto!!

E está aí nossas descrições! 😊

Resposta

f x = 1 ,   x < 3 2 3 x + 2 ,   x ≥ 3

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