Prove o Teorema 2.10.2.

Passo 1

Seja lim x → c ⁡ f ( x ) = L . Por hipótese L < 0 . Aplicando a Definição 2.1.1 e tomando ϵ = 1 2 L , existe um δ > 0 tal que

Se 0 < x - c < δ   , então f x - L < 1 2 L

Se 0 < x - c < δ   , então f x - L < 1 2 L

Passo 2

Também, f x + L < 1 2 L equivale a - 1 2 L < f x - L   < 1 2 L , o que por sua vez equivale a 1 2 L < f x < 3 2 L .

Passo 3

Também, 0 < x - c < δ   equivale a - δ < x - c < δ   , o que por sua vez equivale a c - δ < x < c + δ   ,   mas x ≠ c x está no intervalo aberto c - δ ,     c + δ , mas x ≠ c

Passo 4

Com isso podemos afirmar que

Se x está no intervalo aberto c - δ ,     c + δ , mas x ≠ c , então 1 2 L < f x < 3 2 L .

Como L no intervalo de f x não sofreu mudança de sinal, então temos que L < 0 ainda se mantém e segue que f x < 0 para todo x ≠ c no intervalo aberto c - δ ,     c + δ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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