Prove:

(a) arccosh x = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x >= 1

(b) arctanh x = 1/2 \* ln((1+x)/(1-x)), -1 < x < 1

Passo 1

Bom, para começar fazendo as demonstrações de cada identidade devemos lembrar das suas definições!

Para o item (a), temos y = arccosh ⁡ x , então podemos dizer que x = cosh ⁡ y , logo

x = 1 2 e y + e - y

e y + e - y - 2 x = 0

Que pode ser reescrito como:

e 2 y - 2 x e y + 1 = 0

Isolando e y :

e y = 2 x ± 4 x 2 - 4 2

= x ± x 2 - 1

Para determinar qual sinal usar, devemos notar que se y ≥ 0 :

e - y ≤ e y

Substituindo:

x = 1 2 e y + e - y ≤ 1 2 e y + e y = e y

Consequentemente, e y ≥ x , então:

e y = x + x 2 - 1

Assim, arccosh ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 - 1 .

Passo 2

Para o item (b), temos y = arctanh ⁡ x , então x = tanh ⁡ y , logo

x = e y - e - y e y + e - y

x = e 2 y - 1 e 2 y + 1

Assim,

x e 2 y + x = e 2 y - 1

1 + x = e 2 y 1 - x

Isolando e 2 y :

e 2 y = 1 + x 1 - x

Portanto, arctanh ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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