Enunciado

O projeto do Gateway Arch em St. Louis, Missouri, foi elaborado pelo arquiteto Eero Saarinan e implementado usando as equações fornecidas pelo Dr. Hannskarl Badel. As equações usadas para curva central do arco foram

y   =   693,8597   -   68,7672   c o s h   ( 0,0100333 x )   p é s

com x entre - 299,2239 e 299,2239 .

(a) Use um recurso computacional para fazer o gráfico da curva central do arco.

(b) Encontre o comprimento da curva central com quatro casas decimais.

(c) Para quais valores de x a altura do arco é 100   p é s ? Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

(d) Aproxime até o grau mais próximo o ângulo agudo que a reta tangente à curva central faz com o solo no final do arco.

Passo 1

(a) Vamos usar a calculadora gráfica do Geogebra (dá para acessar pelo navegador), para esboçar essa curva, no intervalo dado.

Fica assim:

Passo 2

(b) A fórmula para o comprimento da curva, no intervalo [ a , b ] , é:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Para o nosso caso, os dados ficam:

a = - 299,2239 ,     b = 299,2239

f x = y   =   693,8597   -   68,7672   c o s h   ( 0,0100333 x )

E pela regra da cadeia:

f ' x = - 0,0100333 ⋅ 68,7672   s e n h   0,0100333 x

Substituindo esses dados na fórmulinha, e calculando a integral na calculadora gráfica, a gente tem que:

L ≈ 1   480,2798   p é s

Passo 3

(c) A altura do arco é o valor de y . Então precisamos descobrir para que valores de x temos y = 100   p é s , usando a equação do arco:

y   =   693,8597   -   68,7672   c o s h   ( 0,0100333 x )   p é s

Substituindo y e isolando x :

100 =   693,8597   -   68,7672 cosh ⁡ 0,0100333 x

x = ±   a r c cosh ⁡ 593,8597 68,7672 0,0100333

Fazendo essa continha na calculadora:

x ≈ ±   283,6249   p é s

Lembrando que a gente coloca esse ±   porque o cosseno hiperbólico é uma função par (simétrica em relação ao eixo y ).

Passo 4

(d) Sabemos que o ângulo que uma reta faz com a horizontal é:

θ = a r c t g   ( m )

Onde m é o coeficiente angular da reta.

E sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto em que ela toca o chão, no final do arco é:

m = f ' x

Onde x = 299,2239

Podemos achar esse ângulo para o ponto final da curva, usando a expressão abaixo na calculadora gráfica:

θ = a r c t g     f ' 299,2239 =

= a r c t g   - 0,0100333 ⋅ 68,7672   s e n h   0,0100333 ⋅ 299,2239

θ = - 1,4272   r a d i a n o s ≈   - 82 °

O ângulo agudo é o ângulo, menor que 90 ° , que a nossa reta faz com o eixo x (solo). Pelo nosso resultado, a gente vê que esse ângulo é 82 ° .

Resposta

(a)

(b) L ≈ 1   480,2798   p é s

(c)   x ≈ ±   283,6249   p é s

(d) 82 °

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