Enunciado

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Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

i) g x = 4 x x 2 + 4

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

g ' x = 4 . x 2 + 4 - 4 x . 2 x x 2 + 4 2 = 4 x 2 + 16 - 8 x ² x 2 + 4 2

g ' x = - 4 x 2 + 16 x 2 + 4 2

Igualando a zero:

- 4 x 2 + 16 x 2 + 4 2 = 0

- 4 x 2 + 16 = 0

x 2 = 4 ∴ x = ± 2

Sendo assim, temos que x = ± 2 são os pontos críticos da nossa função.

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

g ' ' x = - 8 x . x 2 + 4 2 - - 4 x 2 + 16 . 2 . x 2 + 4 . 2 x x 2 + 4 4

g ' ' x = 8 x 3 - 96 x x 2 + 4 4

g ' ' - 2 = 8 - 2 3 - 96 ( - 2 ) ( - 2 ) 2 + 4 4 = 128 512 > 0

g ' ' 2 = 8 2 3 - 96 2 2 2 + 4 4 = - 128 512 < 0

Portanto, podemos concluir que x = - 2 é um ponto de mínimo e x = 2 é um ponto de máximo! Resumindo, temos que:

Pontos de máximo: x = 2 ;

Pontos de mínimo: x = - 2 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = 2 é um ponto de máximo e x = - 2 é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: x = 2 ;

Pontos de mínimo: x = - 2 .

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