Enunciado

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Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

h) f x = 3 + 2 x + 3 4 3

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

f ' x = 4 3 2 x + 3 1 3 . 2

f ' x = 8 3 2 x + 3 1 3

Igualando a zero:

8 3 2 x + 3 1 3 = 0

2 x + 3 = 0 ∴ x = - 3 2

Então apenas x = - 3 2 é um ponto crítico da nossa função.

Passo 2

Normalmente usaríamos o teste da derivada segunda para dizer se x = - 3 2 é um ponto de máximo ou de mínimo, mas essa estratégia não funcionará para o formato da função que temos! Sendo assim, vamos utilizar a análise de crescimento e decrescimento em torno desse ponto.

À esquerda de x = - 3 2 temos que f ' x < 0 ;

À direita de x = - 3 2 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda de x = - 3 2 e ver se a derivada dá positiva ou negativa. Como a nossa função sai de um intervalo decrescente e vai para um intervalo crescente, então temos que x = - 3 2 é um ponto de mínimo! Em outras palavras:

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: x = - 3 2 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = - 3 2 é um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: x = - 3 2 .

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