Enunciado

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

f) f t = t + 1 t

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' t > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' t < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f t = t + 1 t

f ' t = 1 - 1 t 2 = t 2 - 1 t 2

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' t > 0 e quando f ' t < 0 .

f ' t > 0 ⇒ t 2 - 1 t 2 > 0

Antes de tudo, vale ressaltar que t não pode, de forma alguma, ser 0 , pois o denominador não pode ser zero, ok? Continuando:

t 2 - 1 > 0

t + 1 . t - 1 > 0

Aqui temos que as raízes da função são 1 e - 1 , certo? Sendo assim, temos que analisar a função para quando t tende a estes valores pela esquerda e pela direita, jóia? Não precisamos nos preocupar com o denominador porque ele sempre será positivo por conta do quadrado, sendo assim:

À direita de t = 1 temos que f ' t > 0 ;

À esquerda de t = 1 temos que f ' t < 0 ;

À direita de t = - 1 temos que f ' t < 0 ;

À esquerda de t = - 1 temos que f ' t > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de t qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 1 ∪ 1 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 1 ,   0 ) ∪ 0 ,   1 .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f t = t + 1 t

f ' t = 1 - 1 t 2 = t 2 - 1 t 2

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' t = t 2 - 1 t 2 = 0

Assim como vimos no passo 2 , esse resultado só é válido para t = 1 e t = - 1 . Sabendo disso, então esses valores de t são os pontos críticos da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos críticos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

f - 1 = - 1 - 1 1 = - 2

f 1 = 1 + 1 1 = 2

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: 1 , 2 ;

Mínimo da função: - 1 ,   - 2 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 1 ∪ 1 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 1 ,   0 ) ∪ 0 ,   1 .

Máximo da função: 1,2 ;

Mínimo da função: - 1 ,   - 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(Continuação do Exercício 13.)b. Mostre que f tem um valor máximo local em x = 5 7 ≈ 1,2585 e um valor mínimo local em x = 2 3 ≈ 1,2599 .
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5
Um gráfico que seja grande o suficiente para mostrar o comportamento global de uma função pode deixar de revelar aspectos locais importantes. O gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - ( x 6 / 2 ) - x 5 + 5
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (10) f x = 3 x 4 - 2 x 3 - 12 x 2 - 6 x - 1 ; ( - ∞ , ∞ ) .
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (11) f x = x 2 + 7 x - 3 ; [ - 3,3 ) .