Enunciado

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

b) g x = 4 x - x 2

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

g ' x = 4 - 2 x

Igualando a zero:

4 - 2 x = 0

2 x = 4 ∴ x = 2

Então apenas x = 2 é um ponto crítico da nossa função.

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

g ' ' x = - 2 < 0

g ' ' 2 = - 2 < 0

Portanto, podemos concluir que x = 2 é um ponto de máximo! Resumindo, temos que:

Pontos de máximo: x = 2 .

Pontos de mínimo: Não existem.

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = 2 é, de fato, um ponto de máximo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: x = 2 .

Pontos de mínimo: Não existem.

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