Enunciado

Questão: 44

A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = cos ⁡ x e pelas retas y = 1 e x = π 2 , gira em torno da reta x = π 2 . Ache o volume do solido gerado.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Essa questão não é simples de responder, calcula-se essa equação usando ‘’volume de solido por involucro cilíndrico’’.
  2. A rotação entorno de um eixo parábola y sendo que a função dada é em torno de x, se tentarmos por x em função de y resultara em c o s - 1 ( x ) que para calcular a integral não é fácil, certo? Mas o termo de’’ volume de solido por involucro cilíndrico’’ diz que :

Passo 2

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Notou a diferença antes usávamos ; V = π ∫ a b f x 2 d x , não era ? generalista;

V =   lim | ∆ | → 0 ⁡ ∑ i = 1 m 2 π m i f m i ∆ , x

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Não se assuste com essa expressão pois só coloquei ela para tentar explicar os termos dela;

2 π m i   f m i ∆ , x , onde m i = valor médio do involucro

f m i = altura do involucro e ∆ , x , espessura, agora olhando o gráfico veja que, a altura do involucro é:

1 - cos ⁡ x = f ( m i ) e =f(x)

o raio é →   m i = 1 2   π - x = x , então :

V = 2 π ∫ a b x f x d x = 2 π ∫ 0 π ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x )   d x

V= 2 π ∫ 0 π 2 ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x )   d x

Passo 3

Usando integração por partes temos;

F(x) = π 2 - x derivando f’(x) = -1

g’(x) = 1 - cos ⁡ x ) integrando g(x)= x - s e n   x

Substituindo temos;

V = 2 π ∫ ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x   )   d x = 2 π ( ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x   ) +   ∫ x - s e n   x   d x

Aplicando os intervalo, temos;

V = 2 π ∫ ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x   )   d x = 2 π ( 1 8 π ² - 1 )

Resposta

V = 2 π ∫ ( π 2 - x ) ( 1 - cos ⁡ x   )   d x = 2 π ( 1 8 π ² - 1 ) .

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Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ sin ⁡ x d x
Avalie a integral. ∫ y cosh ⁡ a y d y
Avalie a integral. ∫ 0 1 x 5 x d x
Avalie a integral. ∫ 1 4 t ln ⁡ t d t
Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. ∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ ; u = θd v = sec 2 ⁡ θ d θ