Enunciado

Questão: 39

Ache a área da região limitada pela curva y = 2 x e - x 2 , pelo eixo x e pela reta x = 4 .

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Geralmente fazemos os gráficos da função para assim, encontrar a área pedida, não é mesmo? Mas você consegue fazer o gráfico dessa função y = 2.x. e - x 2 acredito que não pelo menos sem software gráfico.
  2. Nesse caso o enunciado só dar a restrição x = 4 , e como encontrar a outra? Tentaremos encontrar onde y = 0 , e com o valor de x nessa condição, será a outra restrição, certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja y = x. e - x 2 = 0 , y = 0 , quando x. e - x 2 = 0 , essa expressão só é zero quando x = 0

ou e - x 2 = 0 , como e - x 2 nunca pode ser zero a única solução é x = 0 , logo ela será a outra restrição , certo?

Logo os limites de integração será; x = 0 e x = 4 , ∫ 0 4 2 x e - x 2   d x , agora usando integração por partes;

Seja

f(x) = 2x derivando f’(x) = 2

g’(x) = e - x 2 integrando g(x) = -2 e - x 2

Passo 3

Logo ;

∫ 2 x e - x 2   d x   = 2x. -2 e - x 2 + ∫ 4 e - x 2   d x

∫ 2 x e - x 2   d x   = -4x e - x 2 + 2.(-2)   e - x 2

= -4x e - x 2 – 4 e - x 2 ,

aplicando nos intervalos:

=   -   24 e ² + 8.

Resposta

=   -   24 e ² + 8

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