Enunciado

y = x 3 ;       x = 2       e       Δ x = 1

  1. Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .
  2. Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são d y e Δ y .

Passo 1

a) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = x 3           →               f ' x = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = 3 x 2 Δ x

Se x = 2       e       Δ x = 1 , então:

d y = 3 2 2 1 = 12

Passo 2

Para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar que Δ y = f x + Δ x - f ( x ) .

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = x + Δ x 3 - x 3

Se x = 2       e       Δ x = 1 , então:

Δ y = 2 + 1 3 - 2 3 = 3 3 - 8 = 27 - 8

Δ y = 19

Passo 3

Segue o esboço do grráfico com todos dados indicados.

Para representar o Δ y , nós precisamos esboçar os pontos:

P = 2 , f 2 ⏟ x , f x       com       x = 2   e Q = 2 + 1 , f 2 + 1 ⏟ x + Δ x , f x + Δ x       com         x = 2     e   Δ x = 1 .

Δ y é a diferença dos y de cada ponto, ou seja, Δ y = f 2 + 1 - f 2 = f 3 - f ( 2 ) .

Para representar o d y podemos marcar um segmento de d y = 12 unidades acima do ponto P igual acontece na imagem. Ou traçar a reta tangente no x = 2 e achar o ponto de interseção R da reta tangente com o prolongamento do segmento M Q - , o segmento M R - = d y = 12 .

Resposta

  1. d y = 12 e Δ y = 19 .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). 3 x 2 + 4 y 2 = 48
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = t g 2 x sec 2 ⁡ x
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = c o t g 2 x c o s e c 2 x
Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). x + y = 4
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = 2 + c o s x 2 - s e n x