Enunciado

Achar a massa total e o centro de massa.

19. A medida da densidade linear em qualquer ponto de uma barra com 6 m varia diretamente com a distância do ponto a um ponto externo na reta suporte da barra e a 4 m de um extremo, onde a densidade é 3 kg/m

Passo 1

O primeiro passo aqui é encontrar a densidade, e para isso analisaremos a figura abaixo.

O exercício nos diz que a densidade da barra é proporcional a distância de um ponto qualquer a um ponto externo a 4 metros do extremo, e então o ponto qualquer estrá localizado a ( 10 - x ) metros. Então podemos escrever nossa densidade da seguinte forma:

ρ x = k ( 10 - x )

Passo 2

O exercício nos da outra informação também, sendo ela a seguinte:

  1. A densidade no extremo é 3 kg/m. com isso temos que ρ 6 = 3 .

Dessa forma podemos encotrar a constnte k que permite que seja possível a igualdade do passo anterior.

3 = k ( 10 - 6 )

k = 3 4

Agora que achamos a contante podemos escrever de fato nossa densidade.

ρ x = 3 4 ( 10 - x )

agora que sabemos a função da densidade podemos ir atrás da massa total e centro de massa.

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 6 3 4 ( 10 - x ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 30 x 4 + 3 x 2 8 ] | 6 0  

M t = [ 30 4 ( 6 ) + ( 3 ( 6 2 ) 8 ) ]

M t = 31,5 k g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 4

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 6 x ( 30 4 - 3 4 x ) d x 31,5

x - = ∫ 0 6 ( 30 4 x + 3 4 x 2 ) d x 31,5

x - = 30 x 2 8 + x 3 12 | 0 6 31,5

x - = 30 ( 6 2 ) 8 + 6 3 12 31,5

x - = 18 7 m

Resposta

Massa total: 31,5 k g

Centro de massa: 18 7 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O gráfico de y = 1 - x 2 é uma curva lisa em - 1,1 .
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. 24 x y = y 4 + 48d ey = 2a t éy = 4 é
Expresse o comprimento de arco exato da curva acima do intervalo dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical; em seguida, calcule a integral usando um CAS. y = ln ⁡ ( se
Na nossa definição de comprimento de arco do gráfico de y = f ( x ) , é necessário que f ' ( x ) seja uma função contínua para que f satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio (4.8.2)
A aproximação L ≈∑ k = 1 n 1 + f ' x k * 2Δ x k do comprimento de arco é exata quando f for uma função linear de x .