Calcule

p )   ∫ e - x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição tal que:

w = 2 x → d w = 2 d x

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u w   e   v w podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = e - w 2 → d u = - 1 2 e - w 2 d w   e   v = sin ⁡ w → d v = cos ⁡ w d w

Assim:

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w   - ∫ - 1 2 e - w 2 sin ⁡ w d w

= 1 2 e - w 2 sin ⁡ w + 1 2 ∫ e - w 2 sin ⁡ w d w

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w + 1 4 ∫ e - w 2 sin ⁡ w d w

Passo 2

Agora vamos integrar:

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w + 1 4 ∫ e - w 2 sin ⁡ w d w

Vamos ter outra integração por partes:

Vamos usar novamente: u = e - w 2 → d u = - 1 2 e - w 2 d w   e   v = - cos ⁡ w → d v = sin ⁡ w d w

∫ e - w 2 sin ⁡ w d w = - cos ⁡ w e - w 2 - ∫ - 1 2 e - w 2 - cos ⁡ w d w =

∫ e - w 2 sin ⁡ w d w = - cos ⁡ w e - w 2 - 1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w =

Agora substituindo:

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w + 1 4 ∫ e - w 2 sin ⁡ w d w

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w + 1 4 - cos ⁡ w e - w 2 - 1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w - 1 4 cos ⁡ w e - w 2 - 1 8 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w

Repare que dos dois lados temos o termos: ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w

Então podemos soma-los

1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w + 1 8 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w - 1 4 cos ⁡ w e - w 2

4 + 1 8 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 e - w 2 sin ⁡ w - 1 4 cos ⁡ w e - w 2

∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 8 5 1 2 e - w 2 sin ⁡ w - 1 4 cos ⁡ w e - w 2

∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 5 4 e - w 2 sin ⁡ w - 2 cos ⁡ w e - w 2

Voltando pra variável x :

∫ e - x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ e - w 2 cos ⁡ w d w = 1 2 × 1 5 4 e - w 2 sin ⁡ w - 2 cos ⁡ w e - w 2 =

= 1 5 2 e - x sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x e - x = 1 5 e - x 2 sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x

Não esquecendo da constante:

∫ e - x cos ⁡ 2 x d x = 1 5 e - x 2 sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x + k

Resposta

∫ e - x cos ⁡ 2 x d x = 1 5 e - x 2 sin ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x + k

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