Calcule p ) ∫ e - x cos 2 x d x Passo 1Primeiro vamos fazer uma substituição tal que: w = 2 x → d w = 2 d x 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo: Se temos duas funções u w e v w podemos dizer que: ∫ u d v = u v - ∫ v d u Para esse caso é mais fácil fazer u = e - w 2 → d u = - 1 2 e - w 2 d w e v = sin w → d v = cos w d w Assim: 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w - ∫ - 1 2 e - w 2 sin w d w = 1 2 e - w 2 sin w + 1 2 ∫ e - w 2 sin w d w 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w + 1 4 ∫ e - w 2 sin w d w Passo 2Agora vamos integrar: 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w + 1 4 ∫ e - w 2 sin w d w Vamos ter outra integração por partes: Vamos usar novamente: u = e - w 2 → d u = - 1 2 e - w 2 d w e v = - cos w → d v = sin w d w ∫ e - w 2 sin w d w = - cos w e - w 2 - ∫ - 1 2 e - w 2 - cos w d w = ∫ e - w 2 sin w d w = - cos w e - w 2 - 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = Agora substituindo: 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w + 1 4 ∫ e - w 2 sin w d w 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w + 1 4 - cos w e - w 2 - 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w - 1 4 cos w e - w 2 - 1 8 ∫ e - w 2 cos w d w Repare que dos dois lados temos o termos: ∫ e - w 2 cos w d w Então podemos soma-los 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w + 1 8 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w - 1 4 cos w e - w 2 4 + 1 8 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 e - w 2 sin w - 1 4 cos w e - w 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 8 5 1 2 e - w 2 sin w - 1 4 cos w e - w 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 5 4 e - w 2 sin w - 2 cos w e - w 2 Voltando pra variável x : ∫ e - x cos 2 x d x = 1 2 ∫ e - w 2 cos w d w = 1 2 × 1 5 4 e - w 2 sin w - 2 cos w e - w 2 = = 1 5 2 e - x sin 2 x - cos 2 x e - x = 1 5 e - x 2 sin 2 x - cos 2 x Não esquecendo da constante: ∫ e - x cos 2 x d x = 1 5 e - x 2 sin 2 x - cos 2 x + k Resposta ∫ e - x cos 2 x d x = 1 5 e - x 2 sin 2 x - cos 2 x + k MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a integral. ∫ 0 1 t cosh t d tPrimeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3 e - t 2 d tCalcule a integral. ∫ 1 2 ln x 2 x 3 d xCalcule a integral. ∫ cos x ln ( s e n x ) d xCalcule a integral. ∫ 1 2 x 4 ln x 2 d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integração por PartesVer exercício 12.3 - 1mVer exercício 12.3 - 4a