Enunciado

Reações químicas de primeira ordem Em algumas reações químicas, a taxa à qual a quantidade de uma substância varia em relação ao tempo é proporcional à quantidade presente. Para a transformação da glucona-delta-lactona em ácido glucônico, por exemplo,

d y d t = - 0.6 y      

quando t é medido em horas. Se houver 100 g de glucona-delta-lactona presente quando t = 0 , quantos gramas restarão após a primeira hora? Resolva a equação diferencial

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de y e do outro todo mundo que depende de t

d y d t = - 0.6 y     ⇒ 1 y d y = - 0.6   d t      

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 y d y     = ∫ - 0.6   d t   ⇒ ln ⁡ y + C 1 = - 0.6 ∫ 1   d h = - 0.6 t + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 y d y     = ∫ - 0.6   d t  

⇒ ln ⁡ y + C 1 = - 0.6 t + C 2

Assim,

ln ⁡ y = - 0.6 t + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas y , então

ln ⁡ y = - 0.6 t + C ⇒ e ln ⁡ y = e - 0.6 t + C ⇒ y = e C . e - 0.6 t

Considerando e C = y 0 teremos,

y = y 0 . e - 0.6 t

Passo 2

Perceba que temos um problema de valor inicial, quando o enunciado pergunta Se houver 100 g de glucona-delta-lactona presente quando t = 0 , quantos gramas restarão após a primeira hora. Oque ele quer dizer é que

y = y 0 = 100 quanto t = 0

Sendo assim queremos saber queremos saber qual o valor de y quando t = 1 . Ou seja,

y = y 0 . e - 0.6 t ⇒ y = 100 . e - 0.6 ( 1 ) = 100 . e - 0.6 ≈ 54.88 gramas.

Ou seja, depois de 1 hora restará aproximadamente 54.88 gramas.

Resposta

y = ≈ 54.88 gramas

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.31. y - y x 2 . d y d x = y + 1 2
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.25. s e c 2 x . d y + c o s s e cy . d x = 0
Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento p
Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento p
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.46. d y d x = y 2 - 1 x 2 - 1 , no qual y 2 = 2 .