Enunciado

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

60. d y d x = s e n x + y

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = s e n x + y

Fazendo a seguinte substituição:

u = x + y

Teremos:

d u d x = 1 + d y d x

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x - 1 = s e n   u

Isolando as variáveis:

d u d x = s e n   u + 1

d u s e n   u + 1 = d x

Simplificando, teremos:

s e c 2 u - tan ⁡ u . sec ⁡ u d u = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ s e c 2 u - tan ⁡ u . sec ⁡ u d u = ∫ d x

∫ s e c 2 u d u - ∫ tan ⁡ u . sec ⁡ u d u = ∫ d x

As duas integrais da esquerda possuem resultados tabelados, pessoal! Consultando uma tabelinha de integrais, teremos os seguintes resultados:

∫ s e c 2 u d u - ∫ tan ⁡ u . sec ⁡ u d u = tan ⁡ u - sec ⁡ u + c 1

Já a integral da direita é beeem tranquila, saca só:

∫ d x = x + c 2

Top!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

tan ⁡ u - sec ⁡ u + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

tan ⁡ u - sec ⁡ u = x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

tan ⁡ x + y - sec ⁡ x + y = x + c 3

E esse é nosso resultado!

Resposta

tan ⁡ x + y - sec ⁡ x + y = x + c 3

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