Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x 4 - 8 x 2 + 16 ;                 [ 0 ,   3 ]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado usando o método dos exemplos 3 e 4. Nesses exemplos, usamos o método do intervalo fechado que vale quando o intervalo é fechado e a função é contínua e derivável em todo o intervalo.

O teorema do intervalo fechado garante que sob essas condições, a função terá extremos absolutos (tanto máximo como mínimo) no intervalo. Os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada e os extremos do intervalo. Basta compararmos os valores da função nesses pontos: o maior será o máximo global e o menor o mínimo!

Derivando f :

f ' x = 4 x 3 - 16 x

Assim, fazendo f ' x = 0 para achar os pontos críticos:

4 x   x 2 - 4 = 0 ⇒ x = 0       o u       x = ± 2

No interior do intervalo [ 0 ,   3 ] , apenas o ponto crítico x = 2 deve ser considerado. O ponto x = 0 , por ser extremo de intervalo, também será considerado.

Assim, os candidatos a extremos globais de f no intervalo são:

  • Pontos críticos: x = 2
  • Extremos do intervalo x = 0 e x = 3

Passo 2

Vamos analisar os valores da função nos candidatos a extremos:

f 2 = 16 - 32 + 16 = 0

f 3 = 81 - 72 + 16 = 25

f 0 = 0 - 0 + 16 = 16

Assim, temos que f 2 = 0 é o mínimo global, enquanto f 3 = 25 é o máximo!

Passo 3

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Resposta

Máximo absoluto: f 3 = 25 .

Mínimo absoluto: f ( 2 ) = 0 .

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Dada f x = x r - r x + k , onde r0 e r ≠ 1 , prove que a ) se 0r1 , f tem valor máximo relativo em 1 b ) se r1 , f tem valor mínimo relativo em 1 .
Se f x = a x 2 + b x + c , use o teste da derivada segunda para mostrar que f tem um valor máximo relativo, se a0 . Ache o número onde ele ocorre.
Suponha que 1 2 2 e - 1 2 3 sejam números críticos de uma função f e que f ' ' x = x 1 2 x 2 + 1 ⟦ ⟧Em cada um desses números determine se f tem um extremo relativo; se tiver, classifique-o.
Dada f x = x 3 + 3 r x + 5 , prove que a ) se r0 , f não tem extremos relativos b ) se r0 , f tem ambos os valores, máximo e mínimo, relativos.
Prove que:Seja c um ponto crítico de uma função f , no qual f ' c = 0 e suponhamos que f ' exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c . Se f ' ' c existe eSe f ' ' c0 , ent