Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x ;                 [ - 4 ,   4 ]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado usando o método dos exemplos 3 e 4. Nesses exemplos, usamos o método do intervalo fechado que vale quando o intervalo é fechado e a função é contínua e derivável em todo o intervalo.

O teorema do intervalo fechado garante que sob essas condições, a função terá extremos absolutos (tanto máximo como mínimo) no intervalo. Os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada e os extremos do intervalo. Basta compararmos os valores da função nesses pontos: o maior será o máximo global e o menor o mínimo!

Vamos derivar f para encontrar os pontos críticos:

f ' x = 3 x 2 + 6 x - 9

Assim, fazendo f ' x = 0 :

3 x 2 + 6 x - 9 = 0 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = 0 ⇒ x = - 3     o u     x = 1

Note que ambos os pontos críticos estão no intervalo [ - 4 ,   4 ] , de modo que ambos devem ser considerados a extremos absolutos de f .

Assim, os candidatos a extremos globais de f no intervalo são:

  • Pontos críticos: x = - 3 e x = 1
  • Extremos do intervalo x = - 4 e x = 4

Passo 2

Vamos analisar os valores da função nos candidatos a extremos:

f - 3 = - 27 + 27 + 27 = 27

f 1 = 1 + 3 - 9 = - 5

f - 4 = - 64 + 48 + 36 = 20

f 4 = 64 + 48 - 36 = 76

Dentre os valores acima, o maior é 76 e o menor é - 5 . Assim, f 4 = 76 é o máximo e f 1 = - 5 é o mínimo.

Passo 3

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Resposta

Máximo absoluto: f 4 = 76 .

Mínimo absoluto: f 1 = - 5 .

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