Enunciado

Com referência à figura abaixo, encontre o valor e k de forma que as áreas sombreadas sejam iguais.

Passo 1

Para achar a área entre curvas, a gente monta a fórmula:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Vamos montar essa integral para essas duas áreas, e tentar chegar numa equação para achar k . Vamos começar!

Passo 2

Para a primeira área, à esquerda, temos que a função y = k é a maior e, y = s e n   x é a menor. Um dos extremos de integração conseguimos ver pelo gráfico:

a = x = 0

O segundo por enquanto vamos chamar de b .

A integral fica:

A 1 = ∫ 0 b k - s e n   x d x

Passo 3

Para a área à direita, a função maior é o seno e a menor é k . Vamos chamar os extremos de integração de b e c , porque são valores mais complicados de achar agora. Vamos ter que mexer neles um pouco depois.

A integral fica:

A 2 = ∫ b c s e n   x - k d x

Passo 4

Como as duas áreas devem ser iguais, podemos igualar as duas integrais e dizer que:

A 1 = A 2

∫ 0 b k - s e n   x d x = ∫ b c s e n   x - k d x

∫ 0 b k - s e n   x d x - ∫ b c s e n   x - k d x = 0

A gente pode fazer aparecer um sinal negativo na integral da direita, invertendo a ordem da subtração:

∫ 0 b k - s e n   x d x - - ∫ b c k - s e n   x d x = 0

∫ 0 b k - s e n   x d x + ∫ b c k - s e n   x d x = 0

Aí a gente lembra da propriedade de integral:

∫ a b f x d x + ∫ b c f x d x = ∫ a c f x d x

Fazendo isso com as nossas integrais:

∫ 0 c k - s e n   x d x = 0

Passo 5

Chegou o momento de descobrirmos quem é c , para abrirmos essa integral. Temos que c   é a interseção de y = k e y = s e n   x :

k = s e n   x ∴ x = c = a r c s e n   k ∴ k = s e n   c

Substituindo isso na nossa integral:

∫ 0 c s e n   c - s e n   x d x = 0

Calculando a integral:

s e n   c ⋅ c + cos ⁡ c - s e n   c ⋅ 0 - cos ⁡ 0 = 0

s e n   c ⋅ c + cos ⁡ c = 1

Passo 6

Agora a gente usa um CAS para resolver essa equação. Vamos usar o do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador.

Se jogar essa equação direto na calculadora CAS (trocando a variável c pela variável do gráfico do programa, x ), ela vai te dar um gráfico cheio de retas paralelas. Isso acontece porque essa equação tem várias soluções.

Mas repara na nossa figura que c precisa ser um valor no intervalo 0 < x < π . Logo, só há uma solução que serve para gente:

Logo:

c = 2,33112

Mas a gente quer o k . É só lembrar que:

k = s e n   c = 0,72461

Resposta

k = 0,72461

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