Enunciado

Prove que o centroide de um paralelogramo é o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo. [Sugestão: Escolha as coordenadas de tal modo que os vértices do paralelogramo estejam localizados em ( 0 ,   0 ) ,   ( 0 ,   a ) ,   ( b ,   c ) e ( b ,   a   +   c ) . ]

Passo 1

A gente precisa provar que o centroide de um paralelogramo está na interseção das diagonais. O enunciado manda a gente partir de um paralelogramo assim:

Podemos tentar usar as integrais para provar isso, mas há um jeito mais direto. Pensando na definição do centroide. Vem comigo!

Passo 2

Podemos definir o centroide de uma lâmina, se ela tiver densidade constante por toda sua área, como o ponto onde há equilíbrio de momentos.

Agora pensa comigo. Vamos desenhar uma das diagonais do centroide:

Percebe que ele divide o paralelogramo em áreas iguais? Como a densidade é constante, isso diz para gente que ao longo dessa diagonal há equilíbrio de momentos.

Ao longo da outra diagonal também haverá equilíbrio de momentos, as áreas também são iguais.

Se fizermos a interseção entre duas linhas de equilíbrio, encontramos o ponto de equilíbrio, o centroide!

Agora um bizu: sempre que tivermos duas retas diferentes e não coincidentes que dividem uma região em duas áreas iguais, a interseção delas é o centroide.

Provamos usando nossos conceitos. Uhul!

Resposta

Prova nos passos

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