Enunciado

Suponha que em t = 0 uma partícula esteja na origem de um eixo x com uma velocidade v 0 =   25   c m / s . Nos primeiros 4 segundos, não há aceleração e, então, uma força retardadora age produzindo uma aceleração negativa constante de a = - 10   c m / s 2 .

(a) Esboce a curva aceleração versus tempo no intervalo 0   ≤ t ≤   12 .

(b) Esboce a curva velocidade versus tempo no intervalo 0   ≤ t ≤   12 .

(c) Encontre a coordenada x da partícula nos instantes t = 8   s e t = 12   s

(d) Qual é a coordenada x máxima da partícula no intervalo 0   ≤   t   ≤   12 ?

Passo 1

(a) Precisamos esboçar o gráfico da aceleração versus tempo, então vamos analisar como a aceleração variou como tempo.

Primeiro ele diz que não havia aceleração até o tempo t = 4 s . Então podemos escrever:

a t = 0 ,           0 ≤ t < 4

Depois ele diz que há uma aceleração constante igual a   a = - 10   c m / s 2 . Podemos dizer que:

a t = - 10 ,             4 ≤ t ≤ 12

Colocando isso em um gráfico:

Passo 2

(b) Vamos esboçar o gráfico da velocidade versus o tempo, para isso, vamos ver como a velocidade variou.

O enunciado diz que a velocidade é constante em v 0 = 25   c m / s até t = 4   s , porque não há aceleração. Podemos dizer:

v t = 25 ,       0 ≤ t ≤ 4

Mas depois entra a aceleração a = - 10   c m / s 2 em cena. É aí que a gente lembra que:

v t = ∫ a t d t

Fazendo isso para o nosso valor de aceleração:

v t = ∫ - 10 d t = - 10 t + C

Podemos achar C , porque sabemos que no tempo t = 4 s , a nossa velocidade ainda era 25 c m / s e logo depois ela começa a diminuir. A gente pode escrever:

v 4 = - 10 ⋅ 4 + C = 25 ∴ C = 65

Como isso tudo está acontecendo entre 4 e 12 , podemos escrever:

v t = - 10 t + 65 ,       4 < t ≤ 12

Passo 3

Colocando esses dois intervalos no gráfico:

Passo 4

(c) Para encontrar a coordenada da partícula, podemos achar o deslocamento da partícula até o tempo desejado, que é dado pela fórmulinha:

s = ∫ t 1 t 2 v ( t ) d t

Queremos o deslocamento entre 0 e 8 . Lembrando que:

v t = 25 ,       0 ≤ t ≤ 4 - 10 t + 65 ,       4 < t ≤ 12

Vamos precisar dividir nossa integral e escrever:

s 8 = ∫ 0 8 v ( t ) d t = ∫ 0 4 25 d t + ∫ 4 8 - 10 t + 65 d t = 100 - 5 t 2 + 65 t   | 8 4

s 8 = 120   c m

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para o intervalo de 0 até 12 s :

s 12 = ∫ 0 12 v t d t = ∫ 0 4 25 d t + ∫ 4 12 - 10 t + 65 d t = 100 - 5 t 2 + 65 t   | 12 4

s 12 = - 20   c m

Passo 6

(d) A coordenada máxima acontece quando v t = 0 . A partir daí, a partícula começa a voltar a origem, porque a velocidade fica negativa.

Podemos descobrir em que instante isso acontece e depois calcular o deslocamento até esse instante.

Precisamos ver em que instante, no intervalo [ 4,12 ] , a velocidade zera:

v t = - 10 t + 65 = 0 ∴ t = 6,5   s

Agora calculamos o deslocamento de 0 até 6,5   s :

s 6,5 = ∫ 0 12 v t d t = ∫ 0 4 25 d t + ∫ 4 12 - 10 t + 65 d t = 100 - 5 t 2 + 65 t   | 6,5 4

s m á x = s 6,5 = 131,25   c m

Resposta

  1. s 8 = 120   c m ,   s 12 = - 20   c m
  2. s m á x = 131,25   c m
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área sob a curva f x = y acima do intervalo dado. f x = 1 x, [ 1 ,e 3 ]
Encontre a área sob a curva f x = y acima do intervalo dado. f x = x - 3 / 5, [ 1 ,4 ]
Encontre a área sob a curva f x = y acima do intervalo dado. f x = e x, [ 1 ,3 ]
Encontre a área que está acima do e i x ox mas abaixo da curva y = ( 1 - x ) ( x - 2 ) . Faça um esboço dessa região.
Esboce a curva e encontre a área total entre ela e o intervalo dado no e i x ox . y = x + 1 - 1,[ - 1 ,1 ]