Enunciado

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

y = - x 2 + 6 x - 8 ,     y = 0 ,                 e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos decidir qual método usar. Vou optar pelo de cascas:

V = ∫ a b 2 π ( x - e i x o ) . ( f x - g x ) . d x

O nosso eixo de rotação será o eixo y e nosso g x = 0 , então:

V = ∫ a b 2 π ( x - 0 ) . ( - x 2 + 6 x - 8 - 0 ) . d x

V = 2 π ∫ a b x . ( - x 2 + 6 x - 8 ) . d x

V = 2 π ∫ a b ( - x 3 + 6 x ² - 8 x ) . d x

E quanto aos intervalos de integração? Serão os ponto onde a função f ( x ) e o eixo x, ou seja, as raízes.

Então vocês já sabem como achar:

- x 2 + 6 x - 8 = 0

Por Bhaskara:

x ' = 2       e       x ' ' = 4

Na integral:

V = 2 π ∫ 2 4 ( - x 3 + 6 x ² - 8 x ) . d x

Resolvendo:

V = 2 π - x 4 4 + 6 x 3 3 - 8 x 2 2 4 2

Aplicando os intervalos de integração:

V = 2 π - 4 4 4 + 2 . 4 3 - 4.4 ² - - 2 4 4 + 2 . 2 3 - 4 . 2 ²

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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