Enunciado

A região dentro do círculo (x - 1)^2 + y^2 = 1 e fora do círculo x^2 + y^2 = 1 .

Passo 1

O nosso primeiro passo é visualizar as nossas figuras para podermos compreender como deve ser a região de integração. Para isto, precisamos esboça-los. Portanto,

Para podermos esboçar os limites, precisamos passar ambas as curvas para coordenadas polares. A circunferência de centro na origem é expressa por: r = 1 . Agora, vamos desenvolver a outra circunferência. Portanto,

(x - 1)^2 + y^2 = 1

(r cos theta - 1)^2 + r^2 sen^2 theta = 1

r^2 cos^2 theta - 2 r cos theta + 1 + r^2 sen^2 theta = 1 = 1

r^2 - 2 r cos theta = 0

r (r - 2 cos theta) = 0

Como r = 0 não é solução, a curva é expressa por r = 2 cos theta

Passo 2

Agora que a gente conseguiu compreender a nossa região e obter as curvas me coordenadas polares, podemos determinar os limites da nossa integral dupla. O valor do raio r vai variar da curva mais interna até a curva mais externa. Portanto,

1 <= r <= 2 cos theta

Agora, para determinarmos os valores do ângulo theta , precisamos igualar as duas curvas. Sendo assim, temos:

1 = 2 cos theta

cos theta = (1)/(2)

theta = (pi)/(3) o u - (pi)/(3)

Portanto, - (pi)/(3) <= theta <= (pi)/(3) , o que implica que varia de A até B, pontos destacados no desenho da região. Agora que definimos a região, vamos montar a nossa integral.

int_(- pi // 3)^(pi // 3) int_1^(2 cos theta) r d r d theta

Passo 3

Agora, podemos partir para a integração. Portanto,

int_(- pi // 3)^(pi // 3) int_1^(2 cos theta) r d r d theta = int_(- pi // 3)^(pi // 3) ((4 cos^2 theta - 1)/(2)) d theta

int_(- pi // 3)^(pi // 3) ((4 cos^2 theta - 1)/(2)) d theta = int_(- pi // 3)^(pi // 3) ((2 + 2 cos 2 theta - 1)/(2)) d theta

int_(- pi // 3)^(pi // 3) ((1 + 2 cos 2 theta)/(2)) d theta = ((theta + sen 2 theta)/(2))_(- (pi)/(3))^((pi)/(3))

(((pi)/(3) + (sqrt(3))/(2))/(2)) - ((- (pi)/(3) - (sqrt(3))/(2))/(2)) = (pi)/(3) + (sqrt(3))/(2)

Resposta

Á r e a = (pi)/(3) + (sqrt(3))/(2)

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