Enunciado

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .

Passo 1

Esboçando as duas curvas, temos que a curva vermelha representa r = 1 + cos ⁡ θ e a curva azul r = 3 cos ⁡ θ :

Para resolver esse problema vamos calcular primeiro a área da cardioide r = 1 + cos ⁡ θ e depois subtrair a área interna as duas curvas.

Para a cardioide, teremos:

A c a r d = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r   d r   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

Assim,

A c a r d = 1 2 ∫ 0 2 π 3 2 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 3 4 ⋅ 2 π = 3 π 2

Passo 2

Agora vamos calcular a área da região interna as duas curvas. Primeiro vamos procurar os pontos de interseção das curvas:

1 + cos ⁡ θ = 3 cos ⁡ θ ⇒ cos ⁡ θ = 1 2 ⇒ θ = ± π 3

Assim, a área será

A i n t = 2 ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r   d r   d θ + 2 ∫ π 3 π 2 ∫ 0 3 cos ⁡ θ r   d r   d θ

Assim,

A i n t = ∫ 0 π / 3 3 2 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ + 9 2 ∫ π 3 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Portanto,

A i n t = 3 2 ⋅ π 3 + 2 s e n π 3 + 1 4 s e n 2 π 3 + 9 2 π 2 - π 3 + 9 4 s e n   π - s e n 2 π 3

Logo,

A i n t = π 2 + 3 + 3 8 + 3 π 4 - 9 3 8

A i n t = 5 π 4 + 3 - 8 3 8 = 5 π 4

Desta forma,

A = A c a r d - A i n t = 3 π 2 - 5 π 4 = π 4

Resposta

π 4

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