Enunciado

A região limitada pela curva y = sec ⁡ x , pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = π 4 gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja.

Entao teremos, x = 0 até x = π 4 . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = sec ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 4 π sec ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x d x = π tg ⁡ x 0 π 4 =

π tg ⁡ π 4 - π tg ⁡ 0 = π 1 - 0

π

Resposta

π

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