Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = x - x 2

y = 0

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = x - x 2

Vamos olhar quando essa função de 2 ° grau vai cortar o eixo x , ou seja, y = 0

0 = x - x 2

Colocando o x em evidência

x x - 1 = 0

x = 0     o u   x - 1 = 0

x = 0     o u     x = 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela, lembrando que os pontos pontos que ela corta o eixo x são esses que achamos:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de x = 0 até x = 1 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = x - x 2

O volume vai ser:

V = ∫ 0 1 π x - x 2 2 d x

Abrindo aquele quadrado:

V = ∫ 0 1 π x 2 - 2 x 3 + x 4 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 1 π x 2 - 2 x 3 + x 4 d x

V = π ∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 2 - 2 x 3 + x 4 d x = x 3 3 - 2 x 4 4 + x 5 5 + C = x 3 3 - x 4 2 + x 5 5 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 d x = π x 3 3 - x 4 2 + x 5 5 0 1 =

π 1 3 3 - 1 4 2 + 1 5 5 - π 0 3 3 - 0 4 2 + 0 5 5 =

π 1 3 - 1 2 + 1 5 =

π 10 - 15 + 6 30

π 30

Resposta

π 30

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