Enunciado

A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e n x   e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido de revolução gerado.

Passo 1

Vamos utilizar a imagem abaixo para visualizar melhor a região, a linha azul representa a curva y = c o s x pois quando x é zero cosseno é 1, e linha vermelha representa a curva t = s e n x :

Como vamos rotacionar a região, vamos precisar usar a equação de volume por anéis circulares:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Como f ( x ) deve ser a função mais distante do eixo de rotação, ela será y = c o s x e a g ( x ) será y = s e n x

Os limites de integração serão os extremos do intervalo 0 ≤ x ≤ π 4 . Nossa integral então será:

V = π ∫ 0 π 4 c o s 2 x - s e n 2 x d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral, pelas identidades trigonométricas:

c o s 2 x = 1 + c o s 2 x 2 ,     s e n 2 x = 1 - c o s 2 x 2

Nossa integral fica:

V = π ∫ 0 π 4 1 + c o s 2 x 2 - 1 - c o s 2 x 2 d x

V = π ∫ 0 π 4 c o s 2 x d x

Integrando:

V = π s e n 2 x 2 π 4 0

Substituindo os limites:

V = π s e n 2 π 4 2 = π s e n π 2 2 = π 2

V = π 2

Resposta

V = π 2

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