Enunciado

46. Suponha que a órbita de determinado cometa seja uma parábola com o Sol no foco. Quando o cometa está a 100 milhões de quilômetros do Sol, o ângulo entre o eixo da parábola e a reta do Sol até o cometa é de 45°. Use o resultado do Exercício 45 para determinar a menor distância entre o cometa e o Sol.

Passo 1

Primeiro vamos escrever 100 milhões de forma mais bonita que é:

100   m i l h õ e s = 10 8

Agora, vamos lembrar da definição da parábola, que diz:

“A parábola é uma curva plana cujos pontos P são equidistantes a uma reta diretriz e a um ponto fixo F.”

Assim se o cometa está a 10 8 Km do Sol que é nosso foco ela também tem a mesma distância da reta diretriz.

A menor distancia entre o cometa e o sol que é pedido no enunciado, acontece quando o cometa estiver no vértice da parábola, que foi demonstrado no exercício 45.

Passo 2

Abaixo tem uma figura que mostra mais ou menos nossa situação.

O ponto F é o foco que no caso é o Sol, o Ponto C é o cometa. O comprimento da reta d1 é igual ao comprimento da reta d2 pela definição da parábola.

Para resolver o problema precisamos achar a distância do foco até o vértice. Primeiro analisando nossa figura, vemos que a distância da reta diretriz até o ponto J é igual a d2.

Se descobrirmos a distância do foco até o ponto J podemos subtrair esse valor de d2 e descobrir a distância entre o foco e a reta diretriz, assim basta lembrar que o vértice é o ponto médio entre os dois.

Passo 3

Vamos achar a distância de F até J (chamando esse seguimento de h) por trigonometria, da seguinte forma:

h d 1 = cos ⁡ 45

h d 1 = 2 2

h = 2 2 ⋅ d 1

h = 0,71 ⋅ d 1 = 0,71 ⋅ 10 8

Agora subtraindo esse valor de d2, obtemos:

d 2 - 0,71 ⋅ 10 8

= 10 8 - 0,71 ⋅ 10 8

= 10 8 1 - 0,71

= 0,29 ⋅ 10 8

Esse resultado representa a distância entre o foco e a reta diretriz, para achar a distância até o vértice basta dividir esse resultado por 2, assim:

0,29 ⋅ 10 8 2 = 0,145 ⋅ 10 8

Resposta

A menor distância entre o cometa e o Sol é dado por:

0,145 ⋅ 10 8   K m

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