Enunciado

44. Um arco parabólico tem uma altura de 20 m e uma largura de 36 m na base. Se o vértice da parábola estiver no topo do arco, a que altura acima da base ele terá 18 m de largura?

Passo 1

Primeiro para resolver essa questão vamos escolher os eixos de forma a facilitar nossa vida. O eixo x no mesmo nível da base e o eixo y no meio do arco.

Assim cada ponta do arco está a 18 m do eixo y e o ponto mais alto do arco está a 20 m do eixo x.

Agora para achar o que o enunciado pede teremos que achar a equação da parábola formada pelo arco.

Com essa configuração e com a informação do enunciado sobre o ponto mais alto do arco, temos que o vértice da parábola formada pelo arco é:

V = ( 0 ,   20 )

Passo 2

Como a parte mais alta do arco está longe do chão isso mostra que a parábola tem concavidade para baixo, assim sua e equação é do tipo:

x - h 2 = - 4 p ( y - k )

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 3

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.

O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y, logo:

h = 0           e           k = 20

Assim nossa equação já toma a seguinte forma:

x 2 = - 4 p ( y - 20 )

Passo 4

Para encontrarmos o valor de p, vamos usar o fato de já conhecermos um ponto da parábola, que é o ponto onde a extremidade do arco toca o chão. Jogando os valores desse ponto na equação que temos, iremos descobrir o p.

O ponto onde o arco toca o chão (nosso eixo x) temos como coordenadas (18, 0), substituindo na nossa equação:

x 2 = - 4 p ( y - 20 )

18 2 = - 4 p ( 0 - 20 )

324 = - 4 p - 20

8 0 p = 324

p = 3 24 80 = 81 20

Passo 5

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = - 4 p y - k

x 2 = - 4 ⋅ 81 20 ( y - 20 )

x 2 = - 81 5 ( y - 20 )

Passo 6

Agora para encontrar a que altura do chão a largura seria de 18 m, precisamos lembrar que como dividimos nosso arco ao meio com eixo y, para saber a altura que causa a largura de 18 m precisamos avaliar o ponto que dista 9 m do eixo y, porque somando 9de um lado com 9 do outro, obtemos 18 m.

Assim:

x 2 = - 81 5 ( y - 20 )

81 2 = - 81 5 y - 20

81 = - 81 5 y + 324

81 - 324 = - 81 5 y

81 5 y = 243

y = 15

Resposta

Então a 15 m da base a largura será 18 m.

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