Enunciado

Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A   como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .

6-

Passo 1

Essa questão é mais legal, é mais fácil encontrar os parâmetros para esse problema em coordenadas polares porém precisamos saber ver qual o valor de r e θ para essa figura.

O valor de r é o valor da hipotenusa formada pelo triângulo retângulo com catetos 2 e 2   visto abaixo.

Dessa forma por Pitágoras temos:

r 2 = 2 2 + 2 2

r = 2 2

Então r vai de 0 até 2 2 .

Passo 2

Como a reta inclinada passa por 0,0 e por ( 2,2 ) então podemos ver por y = m x + b que essa reta é igual a y = x e essa reta por ter coeficiente angular igual a 1 nos diz que ela faz uma ângulo com a horizontal x igual a π / 4 e por ela ser um semi círculo nos diz que ela vai de π / 4 até π + π 4 = 5 π 4 , logo a integral iterada para a função f seria igual a:

∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 2 f r cos ⁡ θ , r s i n   θ d r   d θ

Essa visão você precisa realmente ter sobre coordenadas polares, o quanto que se varia r para completar área e o percorrimento de θ indo do começo até o final no sentido anti-horário

Resposta

∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 2 f r cos ⁡ θ , r s i n   θ d r   d θ

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd rd θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ