7. y = x^2, y = x^3

Passo 1

Como o enunciado me fornece uma f ( x ) e estamos integrando em relação a y, precisamos encontrar uma f ( y ) .

f 1 x = x 2

f 2 x = x 3

f 1 y = y 1 2

f 2 y = y 1 3

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo x temos: 0 ≤ x ≤ 1

No eixo y temos: 0 ≤ y   ≤ 1

Como podemos observar, temos um anel circular, com raio externo x 3 e raio interno x 2 . Temos a área da seção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo.

A y = π f 2 y -   f 1 y

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = π ∫ a b A y 2   d y  

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = ∫ 0 1 π y 1 3 2 - π y 1 2 2   d y

= π ∫ 0 1 y 2 3 - y   d y

π y 5 3 5 3 - y 2 2 0 1 =

= π 3 5 - 1 2

= π 10   u . v .

Resposta

π 10   u . v .

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