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(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,   t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,   u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t = F → u t , t ∈ I , é derivável e que

d H → d t = d F → d u d u d t

Onde d F → d u deve ser calculado em u = u t .

Passo 1

Temos então uma função u que recebe valores reais e retorna valores reais, e uma função F → que recebe valores reais e retorna vetores no R n . Então vamos assumir

F → = F 1 , F 2 , … , F n

Se aplicarmos u de entrada em F → temos H → t = F → u t e cada coordenada tem a cara

H i = F i u t

Derivando então coordenada por coordenada chegamos em

d H i d t = d F i d u d u d t

Pela regra da cadeia em funções R → R . Temos então

d H → d t = d F 1 d u d u d t , d F 2 d u d u d t , … , d F n d u d u d t

A derivada de u é um escalar, então podemos colocar em evidencia e ficamos com

d H → d t = d F 1 d u , d F 2 d u , … , d F n d u d u d t

E o que sobrou em parênteses é a derivada de F → em relação a u , então

d H → d t = d F → d u d u d t

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